Les droites de Simson et de Steiner
Le triangle donne lieu a de nombreux alignements spectaculaires : on y déniche la droite de Simson et sa cousine, la droite de Steiner.
S'il est vraisemblable que Robert Simson, mathématicien écossais, connaissait avant Euler, mais sans démonstration, la célèbre droite d'Euler (voir ci-contre), aucun écrit cependant n'atteste qu'il ait trouvé la droite qui porte son nom. La première trace écrite de cette « droite de Simson » date de 1799 et est due… à un autre mathématicien écossais, William Wallace. C'est pourquoi on l'appelle parfois droite de Wallace–Simson.
Quels points la droite de Simson contient-elle ? À partir d'un triangle ABC, si on projette orthogonalement un point P quelconque du plan sur les côtés du triangle, ces projections sont alignées si, et seulement si, P appartient au cercle circonscrit au triangle ABC. La droite ainsi associée au point P est sa droite de Simson. La démonstration se fait en utilisant des angles orientés de droites.
Au lieu de considérer les projetés orthogonaux de P sur les côtés du triangle, on peut aussi considérer les symétriques ...
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