Diviser des polynômes
Un problème classique pour qui étudie les fonctions est de rechercher les asymptotes non verticales d'une fraction rationnelle A / B, où A et B sont deux polynômes de degré respectivement d1 et d2. La division euclidienne de A par B donne naissance à un quotient Q (de degré égal à d1 – d2) et un reste R (de degré strictement inférieur à d2) tels que A = BQ + R. On a donc :
Dans les cas où la différence d1 – d2 est égale à 0 ou à 1, le quotient Q peut se mettre sous la forme mx + p ; au surplus, le terme R / B tend alors vers 0 lorsque la variable x tend vers l'infini (aussi bien vers + 3 que vers – 3). Ainsi, lorsque la variable x devient très grande en valeur absolue, A / B se comporte approximativement comme la fonction qui à x associe mx + p. La droite d'équation y = mx + p est une asymptote à la fraction rationnelle A / B. Cette droite est horizontale quand m = 0 (donc lorsque d1 = d2) ; elle est oblique quand m est non nul (ce qui a lieu lorsque d1 = d2 + 1).
Recherchons ainsi les asymptotes de la fonction f définie par (2x3 – 3x2 + x – 1) / (x2 + 1). Il n'existe aucune asymptote verticale car le dénominateur ne s'annule jamais, ni aucune asymptote horizontale puisque les degrés du numérateur et du dénominateur ne coïncident pas. Par contre, il existe bien une asymptote oblique :
f (x) = 2x – 3 + (2 – x) / (x2 + 1). La droite d'équation y = 2x – 3 ...
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