Les entiers n'ont pas fini de nous fasciner : la divisibilité donne lieu à des questions redoutables, comme en témoignent plusieurs conjectures sur les nombres parfaits. L'expérimentation à l'aide d'un ordinateur est dans ce cas d'un précieux secours pour traquer des contre-exemples.

Vous croyiez tout savoir des entiers, et notamment de leurs diviseurs. Par exemple, les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12 ; ses diviseurs stricts sont 1, 2, 3, 4 et 6 (mais pas 12). On notera S(n) la fonction somme des diviseurs stricts de n. Ainsi, S(12) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16.

Mais connaissez-vous les entiers copains ?

 

Deux entiers n et m sont copains (ou amiables) si S(n) = m et S(m) = n. Dans cette définition, les entiers n et m peuvent éventuellement être égaux. Par exemple, 6 est copain avec 6 car les diviseurs stricts de 6 sont 1, 2 et 3, dont la somme fait bien 6 (S(6) = 6). Un autre couple d'entiers copains célèbre est (220, 284). En effet :

 

S(220) = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284 et S(284) = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.

 

Par contre, 10 et 40 ne sont pas copains car S(10) = 1 + 2 + 5 = 8 (différent de 40) et
S(40) = 1 + ... Lire la suite


références

Mathématiques et informatique. Bibliothèque Tangente 52, 2014.
Les démonstrations. Bibliothèque Tangente 55, 2015.
Les inattendus mathématiques. Jean-Paul Delahaye, Belin-Pour La Science, 2004.