Le modèle de Leslie

Fabien Aoustin

dossier : Géographie humaine et biodiversité

HS Kiosque 67 : Maths et développement durable

La modélisation de l'évolution d'une population animale est un sujet fréquemment étudié en mathématiques et en biologie. Mais comment tenir compte du fait qu'un individu plus ou moins âgé donne naissance à plus ou moins de descendants ? Le modèle de Leslie répond à ces problématiques.

Durant la première moitié du XX^e siècle, bon nombre de scientifiques se sont intéressés à l’étude des fluctuations des populations animales.

C’est notamment le cas de l’écologue et zoologiste britannique Charles Sutherland Elton (1900–1991), qui fonde en 1932 le Bureau of Animal Population. Situé à Oxford, l’institut, initialement constitué de cinq personnes et se consacrant principalement à l’étude des populations de rongeurs, connaît une rapide croissance.

C’est en 1935 que Patrick Leslie est recruté. Ce jeune Écossais né en 1900 a suivi ses études à Oxford. Assistant en bactériologie à ses débuts, il se tourne petit à petit vers les statistiques. Le Bureau of Animal Population dispose justement d’une vaste collection de données sur les évolutions de populations animales très variées, et c’est sur celles-ci que Leslie va tester son modèle structuré en âge. L’institut contribuera quelques années plus tard, à sa façon, à l’effort britannique lors de la Seconde Guerre mondiale en étudiant particulièrement la prolifération de souris et de rats causant des dégâts dans les réserves alimentaires de la population.

Un exemple simplifié

Pour mieux comprendre le modèle de Leslie, considérons une population fictive d’insectes femelles ne vivant que trois semaines au maximum. L’idée est de structurer la population en classes ... Lire la suite

références

- Les matrices. Bibliothèque Tangente 44, 2012.
- Les statistiques et leur décodage. Bibliothèque Tangente 34, 2009.

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Le produit matriciel

Le produit matriciel

Les matrices peuvent être comprises comme de simples tableaux de nombres. Si elles ont la même taille, les additionner ne pose pas de problème : il suffit d’additionner les coefficients qui se correspondent (qui sont « situés au même endroit »). Mais comment effectuer un produit de deux matrices ?

Le plus simple est de commencer par multiplier une matrice ligne à n coefficients par une matrice colonne à n coefficients.

Un tel produit donne un seul nombre :

$(1\;\; 2 \; \; 3) \times \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\6 \end{pmatrix} = 1\times 4+ 2 \times 5 +3 \times 6=32.$

Dans le modèle de Leslie, on est amené à multiplier des matrices carrées entre elles. Le produit de deux matrices carrées A et B d’ordre n donne une nouvelle matrice, notée AB, d’ordre n dont le coefficient situé à la i-ème ligne et à la j-ème colonne est égal au produit de la i-ème ligne de A par la j-ème colonne de B.

Par exemple, si

$\text{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

$\text{B} = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix},$

alors

$\text{AB} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}.$

Mais attention, on a aussi

$\text{BA} = \begin{pmatrix} 23 & 34 \\ 31 & 46 \end{pmatrix},$

qui diffère de AB !

Des matrices particulières

Des matrices particulières

Lorsque que l’on multiplie un nombre réel x par 1, on trouve encore x. Il existe une situation similaire pour les matrices : la matrice identité. Elle est constituée de 1 sur la diagonale et de 0 partout ailleurs.

Par exemple, pour les matrices carrées d’ordre 3, on a

$\text{Id} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

et, pour toute matrice carrée A, on a A x Id = Id x A = A.

Si deux matrices P et Q vérifient P Q = Q P = Id, on dit qu’elles sont inverses l’une de l’autre et on note Q = P ^–1.

La puissance des matrices

La puissance des matrices

Le modèle de Leslie consiste à étudier les puissances successives d’une matrice carrée L. A priori, il est difficile de donner l’expression de Lⁿ pour un entier n donné.

Certains cas sont cependant plus simples, notamment celui des matrices diagonales, par exemple avec

$\text{D} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}.$

Dans ce cas, on établit facilement que :

$\text{D}^n = \begin{pmatrix} 2^n & 0 & 0 \\ 0 & 3^n & 0 \\ 0 & 0 & 4^n \end{pmatrix}.$

L’idée est donc maintenant de se ramener à une matrice diagonale. Dans certains cas, il est possible de trouver des matrices P et D telles que

L = P D P ^–1.

On a alors : Lⁿ = (PDP ^-1) ⁿ = (PDP ^-1) (PDP ^-1) … (PDP ^-1) = PD (P ^-1P) D (PP ^-1) … (PP ^-1) DP ^-1 = PD ⁿP ^-1

car P ^-1P = Id.

Hélas, cette « diagonalisation » n’est pas toujours possible. Cela n’empêche heureusement pas l’étude asymptotique du modèle de Leslie ! Cette fois-ci c’est le théorème de Perron–Frobenius qui nous vient en aide. Ce puissant théorème d’algèbre, démontré dans les premières années du XX ^e siècle, est aussi au cœur de l’algorithme utilisé par Google pour classer les pages Web par pertinence…