Le tenseur : un outil indispensable

Daniel Justens

dossier : La relativité

HS Kiosque 71 : Les équations de la physique moderne

La description de l'univers dans son ensemble utilise une notion mathématique assez abstraite, celle de tenseur. L'équation d'Einstein, qui lie la géométrie et la répartition de masse dans l'univers, l'exploite : les tenseurs permettent d'exprimer cette relation de manière très synthétique.

Le modèle cosmologique standard repose sur une équation publiée par Einstein en 1915, équation que le génial physicien généralisera deux ans plus tard (voir FOCUS) pour des raisons équivoques. Elle décrit de quelle manière la matière et l’énergie présentes dans l’univers modifient, tout en la structurant, la géométrie de l’espace-temps, introduisant un paradigme nouveau : la gravité n’est plus une force s’exerçant mutuellement entre deux ou plusieurs corps, elle devient une propriété géométrique de l’espace, que la présence de matière et d’énergie déforme. Ainsi, les courbures de l’espace au voisinage de la matière sont vues comme la résultante du champ gravitationnel induit par cette présence. L’équation du champ gravitationnel d’Einstein est une équation aux dérivées partielles introduisant des objets mathématiques fort curieux et intéressants : les tenseurs.

Un peu d’algèbre (linéaire)

Un tenseur est un objet abstrait que l’on retrouve en algèbre linéaire et en géométrie différentielle. On part d’un espace vectoriel V sur un corps commutatif K. On entend par corps un ensemble de nombres munis de deux opérations fondamentales (addition et multiplication), et jouissant de propriétés « agréables » (existence d’un élément neutre noté 0 pour l’addition, d’un élément neutre noté 1 pour la ... Lire la suite

références

Vecteurs et espaces vectoriels. Bibliothèque Tangente 65, 2018.
Les matrices. Bibliothèque Tangente 44, 2012.
Les nombres complexes. Bibliothèque Tangente 63, 2018.

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La gravité devient une propriété géométrique de l'espace.

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De l'art du changement de base

De l'art du changement de base

Soit un espace vectoriel V de dimension finie n. Munissons-le d’une base E = (e₁, e₂… e_n). Tout vecteur v de V s’exprime comme combinaison linéaire des éléments de E. Les coordonnées de cette combinaison linéaire constituent une matrice ligne X, de composantes x₁, x₂… x_n. En considérant la base E comme une matrice colonne dont les éléments sont les vecteurs de base, on peut représenter v par le produit matriciel XE.

Soit E* une nouvelle base. La base de départ E peut s’exprimer à partir de E* sous la forme de n combinaisons linéaires indépendantes
e₁ = m_1,1 e₁* + m_1,2 e₂* + … + m_1,_ne_n*,

e₂ = m_2,1 e₁*+ m_2,2 e₂* + … + m₂,_n e_n*…

e_n = m_n_,1 e₁* + m_n_,2 e₂* + … + m_n,_n e_n*, dont les coordonnées constituent la matrice M.

On peut écrire : E = ME*, qui traduit de manière synthétique les n relations précédentes. Tout vecteur v s’exprime dans la nouvelle base par v = XE = XME* = (XM)E*. Les coordonnées du vecteur sont bien multipliées à droite par la matrice de changement de base. Sous nos conditions (indépendance des combinaisons linéaires), M est inversible et l’on a aussi E* = M^–1E.

Dans la nouvelle base, le vecteur ligne Y exprimant les coordonnées de v sera représenté par la matrice ligne Y = XM, que l’on peut inverser en $X=YM^{-1}.$ Une forme linéaire (ou application de V dans K) s’écrit, pour tout vecteur de coordonnées X dans la base E, sous la forme XA, où A est une matrice colonne. La forme linéaire dans la nouvelle base doit bien entendu associer le même scalaire à chaque vecteur. On doit donc avoir $XA = Y(M^{-1}A).$

Pour la forme linéaire, le changement de base se traduit donc par la multiplication à gauche par l’inverse de la matrice exprimant ce changement de base !

L'équation d'Einstein, un sujet de choix pour ...

L'équation d'Einstein, un sujet de choix pour les mathématiciens

L’équation d’Einstein exprime une relation d’équilibre entre plusieurs tenseurs décrivant d’une part la géométrie de l’espace-temps et d’autre part la répartition de l’énergie et de la matière dans l’espace-temps, permettant ainsi de décrire sa courbure en fonction de la présence ou non de masse ou d’énergie. Dans sa forme deux fois covariante, elle s’écrit ainsi :

$R_{\mu\nu}-1/2Rg_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}=8\pi G)/c^4T_{\mu\nu}.$

Le premier tenseur, $R_{\mu,\nu}$ , est appelé tenseur de Ricci ; il décrit la déformation de l’espace-temps due au champ de gravitation. Il porte le nom de son inventeur, le mathématicien italien Gregorio Ricci-Curbastro (1853–1925), qui fut l’un des pères du calcul tensoriel. Dans le cadre de variétés riemanniennes, le tenseur de Ricci est le laplacien (opérateur différentiel gradient) du tenseur métrique. Ce dernier, $g_{\nu,\mu}$ , traduisant la courbure de l’espace-temps apparaît également dans l’équation. R désigne la courbure scalaire. $\Lambda$ est une constante cosmologique correspondant à la densité d’énergie moyenne du vide. Curieusement, cette constante fut rajoutée en 1917 pour obtenir un univers statique ! Pour décrire l’univers tout au long de son histoire et pour s’ajuster aux observations, il faut faire varier cette « constante ». G est la constante gravitationnelle et c la vitesse de la lumière dans le vide. Enfin, $T_{\nu,\mu}$ est le tenseur dit énergie-impulsion décrivant la répartition énergie-masse dans l’espace-temps.

L’équation d’Einstein fait toujours l’objet d’intenses recherches mathématiques. La nature des singularités dans l’espace-temps a par exemple donné lieu à un fameux problème, la conjecture de la censure cosmique, introduite en 1969 par Sir Roger Penrose. Cette question fondamentale, toujours ouverte, a connu ces derniers mois de spectaculaires avancées, notamment avec la récente résolution, par Sergiu Klainerman, Igor Rodnianski et Jérémie Szeftel, de la conjecture de courbure bornée dans $L^2,$ qui avait été proposée en 1999.