Au congrès international des mathématiciens de 1900, David Hilbert proposa vingt-trois problèmes qui structurèrent les travaux mathématiques du XXe siècle. Pour conforter son idée axiomatique, il proposa de « démontrer la consistance de l’arithmétique de Peano », c’est-à-dire qu’à partir des axiomes de l’arithmétique et des règles de déduction formelles, on ne peut avoir à la fois une assertion et son contraire. Il s’agit de bon sens direz-vous, « 2 + 2 = 5 » ou non ! Pourtant, personne ne l’avait démontré dans cette généralité avant que Hilbert pose ce problème… et Kurt Gödel prouva trente ans plus tard que c’était faux !
En réalité, le logicien autrichien démontra bien plus : dans tout système axiomatique contenant l’axiomatique de Peano, il existe des assertions dont on ne peut prouver ni la vérité ni la fausseté. Les mathématiciens le savaient déjà dans le cas de la géométrie. Le postulat des parallèles est improuvable dans le cadre des axiomes de la géométrie d’Euclide excluant le postulat. Il s’agit d’un axiome qui s’exprime de la façon suivante de nos jours : « Un point A et une droite D étant donnés, il passe par A une et une seule droite parallèle à D. »
En le remplaçant par un axiome niant l’existence de parallèles, ...
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