Les penseurs de l’Antiquité savaient qu’il y avait plus de nombres entiers que toute valeur donnée à l’avance, mais refusaient de considérer la totalité de tous ces nombres. Seuls quelques grands précurseurs, comme Galilée,
Leibniz, Bolzano, Riemann et Dedekind, vont faire accepter progressivement l’existence de l’infini actuel (qui devient un objet parmi d’autres et non plus un indéfini flou). Richard Dedekind (1831-1916), le premier, propose une définition de l’infini : un ensemble X est infini s’il existe une bijection (qu’il appelle correspondance biunivoque) entre X et une partie stricte de lui-même. Par exemple, l’application successeur de ℕ dans ℕ \ {0} qui à n associe n + 1 est une bijection : tout élément de ℕ a un successeur unique dans ℕ \ {0}, et tout élément de ℕ \ {0} a un prédécesseur unique dans ℕ.
Richard Dedekind vers 1886.
Les paradoxes et la crise des fondements
À partir des années 1870, Georg Cantor (1845-1918) s’intéresse de près à l’infini. Il démontre, en 1873, que les ensembles ℤ et ℚ sont dénombrables, au sens où ils peuvent être mis en bijection avec ℕ ; en revanche, ℝ n’est pas dénombrable : il y a, ... Lire la suite