SOLUTION
Les côtés du quadrilatère ABCD étant tangents à l’étang, on a AB + DC = BC + AD. Ces quatre longueurs se décomposent selon les points de tangence en huit longueurs égales deux à deux (théorème de Pitot), le centre de l’étang étant l’intersection de quatre bissectrices des angles du quadrilatère.
BC = AB + 77 – 33 = AB + 44.
Le quadrilatère ABCD étant cyclique, , d’où
Dans les triangles ABC et ACD, la loi des cosinus (ou théorème d’al-Kashi) donne :
AC2 = AB2 + BC2 − 2AB × BC cos ,
AC2 = AD2 + DC2 − 2AD × DC cos .
On calcule successivement :
AB2 + (AB + 44)2 − AB (AB + 44) = 332 + 772 – 33 × 77
.
(AB / 11)2 + (AB / 11 + 4)2 − (AB/11)(AB/11 + 4) = 32 + 72 – 3 × 7
.
42 – 32 – 72 = –42.
(2 − )(AB / 11)2 + 4(2 −
)(AB / 11) − 21 (2 +
) = 0.
(2 + )/(2 −
) = 3 + 2
.
(AB / 11)2 + 4 (AB / 11) − 21 (3 + 2 ) = 0.
(AB / 11 + 2)2 = 22 + 21 (3 + 2 ) = 67 + 42 = (7 + 3
)2.
AB = 11 (5 + 3 ), soit environ 101,662.
La barrière [AB] mesure donc environ102 m.