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Des identités aux applications remarquables


Fabien Aoustin

Les identités remarquables étudiées au collège (et maintenant en début de lycée…) peuvent s'avérer bien utiles pour trouver les solutions de certaines équations, dont celles du second degré. Le tout est de savoir où se cachent ces mystérieuses identités !


Les équations du second degré, c’est-à-dire celles faisant intervenir l’inconnue au carré, sont étudiées depuis des millénaires. On en trouve des traces particulièrement anciennes sur des tablettes d’argile mésopotamiennes sur lesquelles sont encore inscrits de charmants problèmes vieux de plus de 3 500 ans. Les idées développées alors étaient déjà substantielles, mais l’écriture moderne des mathématiques nous permet de mieux saisir encore la force des identités remarquables dans la résolution de ces équations.

Prenons un exemple pour entrer dans le vif du sujet. Comment trouver les solutions de l’équation x2 + 3x + 1 = 0 ? Pour qui ne se souvient pas avoir un jour abordé de telles questions, la solution semble assez inextricable. Et pourtant, il suffit de deviner où se cache une identité remarquable. Vous ne la voyez pas ? Rien d’anormal, elle n’est pas encore complète ! Pour commencer, réécrivons notre équation sous la forme x2 + 3x = –1, puis regardons le membre de gauche.

Souvenez-vous : (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab.

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références

- Les mathématiques de l'impossible. Bibliothèque tangente 49, 2013.
- Évariste Galois, un génie romantique. Tangente SUP 60, 2011.
- La formule secrète. Fabio Toscano, Belin, 2011.