Méthode du gradient : skier pour minimiser


Hervé Lehning

Vous êtes sur une piste de ski, dans la brume. Quelle route choisissez-vous pour redescendre tout en bas de la piste ? Une méthode est de suivre la plus grande pente, c'est-à-dire le gradient. Une telle idée donne une méthode numérique, mais aussi une façon de déterminer des optimums.

À chaque point (x, y) du plan, on associe naturellement une « altitude » z, fonction de x et de y, que l’on notera aussi  f (x, y). La visualisation en trois dimensions des points de coordonnées (x, y, f (x, y)) produit quelque chose qui peut ressembler à une piste de ski.

 

 

Graphe de la fonction qui au nombre x associe f ( x, y ) =x 4+ y 4– 2( x – y ) 2.

 

Dans l’exemple du schéma, il est apparent qu’il y a un point quelque part qui se trouve plus bas que tous les autres. C’est celui-là que le skieur fatigué par une longue journée sportive voudrait trouver. Mathématiquement, il s’agit de déterminer les valeurs de x et de y pour lesquelles l’altitude, f (xy), est minimale. Comment le localiser ?

 

L’art de l’approximation

Une idée consiste à partir d’un point quelconque (x, y) du plan, puis d’examiner les valeurs de f aux points qui l’entourent, à savoir les points de coordonnées (x + h, y + k), où les valeurs de h et de k sont supposées « suffisamment proches » de 0. Dans ces hypothèses, on dispose de l’approximation suivante :

\( f (x+h,\,y+k)\simeq f (x, y)+ h \,\partial f / \partial x + k \, \partial ... Lire la suite