Méthode du gradient : skier pour minimiser


Hervé Lehning

Vous êtes sur une piste de ski, dans la brume. Quelle route choisissez-vous pour redescendre tout en bas de la piste ? Une méthode est de suivre la plus grande pente, c'est-à-dire le gradient. Une telle idée donne une méthode numérique, mais aussi une façon de déterminer des optimums.


À chaque point (x, y) du plan, on associe naturellement une « altitude » z, fonction de x et de y, que l’on notera aussi  f (x, y). La visualisation en trois dimensions des points de coordonnées (x, yf (x, y)) produit quelque chose qui peut ressembler à une piste de ski.

Graphe de la fonction qui au nombre x associe f (x, y) = x 4+ y 4– 2(x – y)2.

 

Dans l’exemple du schéma, il est apparent qu’il y a un point quelque part qui se trouve plus bas que tous les autres. C’est celui-là que le skieur fatigué par une longue journée sportive voudrait trouver. Mathématiquement, il s’agit de déterminer les valeurs de x et de y pour lesquelles l’altitude,  f (xy), est minimale. Comment le localiser ?


L’art de l’approximation

Une idée consiste à partir d’un point quelconque (x, y) du plan, puis ... Lire la suite