Tout le monde est susceptible de croiser un polynôme au détour d'un chemin. La preuve...

Des polynômes sous les antennes

Comment choisit-on la forme des antennes chargées de réfléchir des rayons incidents et de les concentrer au mieux ? La parabole de foyer F et de directrice d (à une distance p, le paramètre de F ) est l’ensemble des points M équidistants de d et de F. Elle a pour équation  \( y = \dfrac{x^2}{2p}\)   dans le repère orthonormal d’origine son sommet S et d’axe des abscisses sa tangente au sommet.

En un point M d’abscisse a de cette courbe, la tangente a pour équation  \( y = \dfrac{a}{p} x - \dfrac{a^2}{2p}.\)

Elle coupe donc l’axe (SF) de la parabole en  \( \text{T} \left( 0, -\dfrac{a^2}{2p} \right).\)

 

Réflexion sur une antenne parabolique. 

 

On démontre alors aisément que  \( \text{FT} = \text{MH} = \dfrac{a^2 + p^2}{2p}.\)

Or, par définition de la parabole, MF = MH, donc FT = MF et le triangle FMT est isocèle en F. C’est ici que tout se joue : le rayon (en vert) incident intérieur à la parabole et parallèle à l’axe de celle-ci se réfléchira, selon les lois de la réflexion, de manière que l’angle d’incidence soit égal à l’angle de la réflexion. C’est dire que le rayon réfléchi sera (FM) : tous ces ... Lire la suite