Heureux qui comme un nombre...


Fabien Aoustin

À partir d'un nombre entier initial, on applique une recette simple qui débouche sur un nouveau nombre. On recommence avec le résultat obtenu et ainsi de suite... Selon la forme de cette suite (cyclique, invariante à partir d?un certain rang,...) on donne un qualificatif au nombre initial : heureux, parfait... Mais il arrive aussi que cette forme soit encore inconnue.

 

 

Y a de la joie !

Choisissez un nombre entier, par exemple 19. Calculez la somme des carrés de ses chiffres, ici 12 + 92 = 82, et recommencez ! Dans notre exemple, on trouve ensuite 82 + 22 = 68, puis 62 + 82 = 100 et enfin 12 + 02 + 02 = 1. Termine-t-on toujours par le nombre 1 ? La réponse est non ! Vous pouvez vous assurer qu’en commençant par 4, on trouve successivement 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20 puis… de nouveau 4 ! Impossible de sortir de ce cycle une fois qu’on y est tombé. Ce sont en fait les deux seules issues possibles : soit la suite se termine par 1, soit on tombe dans le cycle infernal 4, 16, 37… Les nombres pour lesquels le processus se termine par 1 sont dit heureux.

Il se pose immédiatement beaucoup de questions. On sait par exemple qu’il existe une infinité de nombres heureux, mais on ne connaît pas leur densité. Certains mathématiciens pensent qu’elle est de 1/7 mais la question reste ouverte et, pour l’instant, on sait seulement qu’elle n’en est « pas très éloignée ». On peut aussi s’interroger sur le nombre d’étapes nécessaires pour qu’un nombre heureux aboutisse à 1. Par exemple, quel est le plus ... Lire la suite gratuitement