La portion congrue des divisions euclidiennes


Fabien Aoustin

Lorsque l'on considère la division euclidienne de a par n, on obtient un reste. Les valeurs possibles de ce reste sont limitées : il n'y en a que n. Voilà un nouveau point de vue permettant de simplifier de nombreux calculs et de considérer bien des problèmes sous un autre angle !

Un enfant un peu curieux pourrait se demander pourquoi ses parents lui font prendre un « quatre-heures » vers seize heures. Et pourquoi, lorsqu'il est dix heures, quatre heures après, il est vingt-deux heures. Voilà bien de curieuses additions… L'idée qui se cache derrière tout cela est que, lorsque midi sonne, on peut recompter les heures en partant de zéro. Ainsi, on peut assimiler « 5 heures » et « 17 heures » : la différence entre ces deux horaires est de douze heures. Dit autrement, 5 et 17 ont le même reste dans la division euclidienne par 12.

Pourquoi se limiter aux horloges dont le cadran est partagé en douze secteurs ? Que se passerait-il avec des cadrans de dix heures ? Et de trente-sept heures ? Le mathématicien, malicieux et imaginatif, ne peut s'empêcher de généraliser cette idée. C'est ainsi que se construisent les congruences.

 

Des congruences en musique !

Les musiciens sont parfois les M. Jourdain des congruences. La gamme chromatique tempérée est constituée de douze demi-tons égaux. On peut facilement représenter les douze notes sur un cercle en se souvenant qu'en commençant à do, on finit par arriver à si bémol, si, puis on retourne sur un do.

 

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références

• Maths et musique. Bibliothèque Tangente 11, 2010.
• Cryptographie et codes secrets. Bibliothèque Tangente 26, 2013.
• Les nombres. Bibliothèque Tangente 33, 2008.