Critère ou caractère ?
Dans la littérature mathématique, on trouve les deux expressions : « critère de divisibilité » et « caractère de divisibilité ». La seconde semble plus ancienne ; on la trouve par exemple dans les écrits de Blaise Pascal. Elle découle de la signification du mot « caractère » comme « ce qui caractérise ».
La première est davantage utilisée aujourd'hui, le mot « critère » correspondant à une méthode permettant de savoir si une propriété est vérifiée ou non. Dans les deux cas, on se réfère bien aux tests de divisibilité que vous avez sans doute appris à l'école, au moins pour certains d'entre eux !
Divisibilité par 2, par 4, par 8, par 16…
Le plus simple des critères de divisibilité est sans conteste celui de la divisibilité par 2 :
« Un nombre est divisible par 2 si, et seulement si, son chiffre des unités est pair. »
Ce critère se généralise aux puissances de 2 :
« Un nombre est divisible par 2n si, et seulement si, le nombre formé par ses n derniers chiffres est divisible par 2n. »
Ainsi, 2016 est divisible par 4 car 16 est divisible par 4 (c'est ainsi que l'on reconnaît les numéros des années bissextiles non multiples de 100). C'est également un multiple de 8 car le nombre formé par ses trois derniers chiffres (016) est divisible par 8. Le nombre 2016 est également divisible par 16 et par 32, mais pour ces valeurs l'utilisation du critère équivaut à effectuer directement la division, le nombre de chiffres n'étant pas suffisant pour obtenir un gain de temps de calcul !
Divisibilité par 3, par 9…
Le critère de divisibilité par 3 est l'un des plus connus :
« Un nombre est divisible par 3 si, et seulement si, la somme de ses chiffres est divisible par 3. »
Ce critère est une conséquence du fait que, quel que soit l'entier n, 10n est toujours congru à 1 modulo 3, ou pour le dire plus simplement que le reste dans la division de 10n par 3 est toujours égal à 1 (les nombres 9, 99, 999, 9 999… étant tous divisibles par 3).
Un critère analogue existe pour la divisibilité par 9 :
« Un nombre est divisible par 9 si, et seulement si, la somme de ses chiffres est divisible par 9. »
Ce critère de divisibilité est à l'origine de la célèbre « preuve par 9 », qui, comme son nom ne l'indique pas, n'est jamais une preuve de la correction (ou justesse) d'un calcul. Il est possible de généraliser ces critères à la divisibilité par 27, 81…
Ainsi, pour vérifier si un nombre est divisible par 27, on découpe le nombre en « tranches » de trois chiffres, on additionne ces tranches et on vérifie si le résultat est, ou non, divisible par 27.
Divisibilité par 11, par 5, par 25…
Vous vous en souvenez :
« Un nombre est divisible par 5 si, et seulement si, son chiffre des unités est 0 ou 5. »
Ici encore, on peut généraliser ce critère pour tester la divisibilité par 5n (avec n > 1) :
« Un nombre est divisible par 5n si, et seulement si, le nombre formé par ses n derniers chiffres est divisible par 5n. »
Cela découle bien sûr du fait que 10n est un multiple de 5n mais n'est pas un multiple de 5n+1.
Le critère de divisibilité par 11 est peut-être moins connu, mais relativement facile à utiliser :
« Un nombre est divisible par 11 si, et seulement si, la différence entre la somme de ses chiffres de rang impair et la somme de ses chiffres de rang pair est divisible par 11. »
Voyons deux exemples :
Pour 2016, (0 + 6) – (2 + 1) = 3. On en déduit que 2016 n'est pas divisible par 11 (on peut même en déduire que le reste dans la division de 2016 par 11 est égal à 3).
Pour 1 234 554 321, (2 + 4 + 5 + 3 + 1) – (1 + 3 + 5 + 4 + 2) = 15 – 15 = 0. Ce nombre est donc divisible par 11.
Le principe de ce critère repose sur le fait que, pour n impair, 10n est congru à – 1 modulo 11, et que, pour n pair, 10n est congru à 1 modulo 11.