Somme d'une série arithmétique… à la portée d'un Gauss

Une suite arithmétique est définie par son élément initial, a₀, et par sa raison, r. Chaque élément de la suite sera égal à l'élément précédent auquel on ajoute la raison. Ainsi, l'élément de rang 1 est égal à a₁ = a₀ + r, le suivant à a₂ = a₀ + r + r = a₀ + 2r, et ainsi de suite. L'élément de rang n est égal à a_n = a₀ + n × r.

Comment calculer une somme partielle (somme des premiers termes) d'une série arithmétique (série dont les termes sont en progression arithmétique) ? Une solution saisissante de simplicité est due, dit la légende des mathématiques, à Carl Friedrich Gauss, alors qu'il n'était qu'un enfant. Le jugeant trop actif en classe, un enseignant, pour être tranquille, lui demanda de calculer la somme des cent premiers entiers. Quelle ne fut pas sa surprise d'avoir la réponse quelques secondes plus tard ! Gauss avait écrit les entiers sur la première ligne dans l'ordre croissant, sur la deuxième ligne dans l'ordre décroissant :

   1        2        3        4        ...        99        100

100      99      98      97       ...         2           1

En faisant la somme des cent colonnes (chacune de total 101), il est arrivé très vite à la conclusion que la somme demandée était égale à la moitié de 10 100, soit 5 050. 

C'est la généralisation de cette méthode qui permet de montrer que la somme S_n des termes de la série précédente (a₀ + a₁ + a₂ + a₃ + a₄ +… a_n) est égale à 

Somme d'une série géométrique

 Une suite géométrique est, elle aussi, définie par son élément initial a₀ et par sa raison, r. Mais cette fois, chaque élément de la suite sera égal à l'élément précédent multiplié par la raison. Ainsi, l'élément de rang n est égal à a_n = a₀ rⁿ.

Comment en calculer la somme partielle S_n = a₀ + a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + … a_n ? On distingue deux cas. Le premier, trivial, correspond au cas où la raison est 1. La suite est constante, et la somme des termes de 0 à n est égale à (n + 1) × a₀. Dans le cas général, l'astuce consiste à multiplier S_n par (1 – r). On aura alors :

(1 – r) S_n = a₀ (1 – r)(1 + r + r² + r³ + r⁴ + … + rⁿ).

On constate, en développant le produit : (1 – r)(1 + r + r² + r³ + r⁴ + … + rⁿ), que les termes s'annulent deux à deux et qu'il ne reste plus que 1 – rⁿ⁺¹. Ainsi, 

Des cas limites 

Peut-on calculer la somme d'un nombre infini de nombres réels ? La réponse est… « parfois ». Si l'on commence par les cas les plus simples, les deux progressions (arithmétique et géométrique) :

• la somme d'une série arithmétique non nulle a toujours une limite infinie (+∞ ou –∞) ;

• la somme d'une série géométrique non nulle admet une limite finie si, et seulement si, la valeur absolue de sa raison est strictement inférieure à 1 ; dans ce cas, en effet, r ⁿ⁺¹ tend vers 0 quand n grandit, et la somme s'approchera de plus en plus de la limite 

On peut élargir la question à d'autres séries. Il faudra alors jongler avec l'analyse réelle pour parvenir à la conclusion de l'existence d'une somme S (la limite des sommes partielles). On parle alors de convergence de la série.

Attention : on peut montrer parfois l'existence de cette limite sans forcément en connaître la valeur ! Certains résultats liés à la structure topologique des nombres réels seront souvent nécessaires pour parvenir à cette conclusion. Voici le plus simple d'entre eux : Une suite croissante et majorée de nombres réels admet toujours une limite.

Ainsi, une série de nombres positifs dont les sommes partielles sont majorées est toujours convergente. Conséquence : si les termes u_n d'une série sont majorés par les termes v_n d'une série convergente, alors la série  est convergente.

On peut dès lors se servir de la convergence de toute série géométrique de raison positive r < 1 pour parvenir à un résultat très utile : si le rapport de deux termes consécutifs d'une série à termes positifs   reste inférieur à un nombre r strictement plus petit que 1, alors la série est convergente.