L'hypothèse de Riemann est le saint Graal des mathématiques. Bernhard Riemann (1826–1866), l'un des plus grands mathématiciens du xixe siècle, l'a formulée en 1859 dans son Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe. Cette conjecture jette un pont entre deux domaines des mathématiques qui n'ont a priori aucun rapport : les nombres premiers et une fonction analytique, la fonction z (« zêta »). Cela fait donc plus de cent cinquante ans que les mathématiciens tentent, en vain jusqu'à présent, de transformer cette conjecture en théorème.
La série harmonique diverge
Qu'est-ce que la fonction zêta ? La brique de base de la fonction zêta est la série de Dirichlet
Pour s = 1, on retrouve la série harmonique, qui est divergente, c'est-à-dire que la somme
peut être rendue aussi grande que l'on souhaite. La divergence de la série harmonique avait été remarquée par Nicolas Oresme au xive siècle, puis démontrée par Pietro Mengoli en 1650.
Euler reprend l'étude dans le cas où s est un entier positif. En 1735, il écrit : « Tant d'études ont été réalisées sur les séries z (s) que la découverte d'une quelconque nouveauté à leurs sujets semble presque impossible. » Cependant il persévère, et poursuit :
« Aujourd'hui cependant j'ai trouvé, de ... Lire la suite