Le mathématicien germano-canadien Hans Arnold Heilbronn (1908–1975) était un spécialiste de théorie des nombres. La conjecture qui porte son nom appartient à la géométrie discrète : le problème des triangles de Heilbronn consiste à placer N points sur un ensemble prédéterminé de sorte que la plus petite aire des triangles qu’ils forment soit la plus grande possible.
L’optimisation porte ainsi sur les triangles dont les sommets sont trois des N points (avec N ≥ 3).
Le problème original a été posé dans le carré unité (d’aire 1), les points pouvant être placés n’importe où à l’intérieur ou sur le bord. L’aire optimale à trouver est appelée nombre de Heilbronn, et notée H(N). Par la suite, le problème a été étendu à toutes sortes de figures.
Aucune solution générale n’est connue au problème de Heilbronn : l’emplacement optimal des points et l’aire optimale ne sont connus que pour quelques valeurs de N. La recherche porte aujourd’hui sur les estimations et sur les méthodes d’approximation.
Le cas du carré
Au début pourtant, tout va bien. Il est par exemple facile de montrer que H(3) = 1/2 = 0,5. Lorsqu’on ajoute un quatrième point, cela ne diminue pas le nombre de Heilbronn : H(4) = 1/2 ...
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