Hilbert défend une vision analytique des vérités mathématiques alors que Poincaré introduit l’intuition comme moyen d’accès aux axiomes.
La démarche de Hilbert témoigne d’une véritable orthodoxie logique, elle remonte à Euclide. Il s’agit de partir de la démonstration, des chaînes de raison qui déplient, d’un point de vue strictement formel, l’énoncé des vérités. On part du général pour aller vers le particulier, l’abstraction prime sur l’exemple. Chaque chapitre est constitué par les définitions, les axiomes et les théorèmes. Rien ne peut interrompre ce processus déterminé.
Poincaré, on peut s’en douter, ne peut s’en tenir à ce programme logique, qui exclut la surprise de la découverte, la puissance créatrice de l’esprit et, surtout, ce frottement permanent avec le réel. Pour lui, on ne peut pas démontrer une théorie pour constater par la suite que le chemin que l’on a suivi est cohérent, « il faut se rendre compte des raisons qui l’on fait choisir ». Poincaré n’abandonne pas les exigences de la logique, il n’en appelle pas plus à l’expérience pour fonder les raisons. Le problème est ailleurs : la logique ne peut rendre compte à elle seule du processus de la découverte. L’esprit n’est pas un simple mécanisme, c’est un sujet qui questionne, qui teste des hypothèses, choisit des combinaisons. Il doit pouvoir comprendre la globalité de ses opérations.
Poincaré s’explique : « Quand le logicien aura décomposé chaque démonstration en une foule d’opérations élémentaires, toutes correctes, il ne possèdera pas encore la réalité toute entière ; ce je-ne-sais-quoi qui fait l’unité de la démonstration lui échappera complètement. » Il tente de concilier deux courants de pensée apparemment opposés, l’intuitionnisme et le logicisme. La subjectivité de l’esprit rejoint et accompagne l’objectivité de la démonstration.