« Contre-exemple. » Ce terme fait parfois sourire car il rappelle quelque fonction farfelue proposée aux étudiants pour les mettre en garde contre l’emploi abusif d’un théorème. Il ne semble souvent pas digne d’intérêt car il ne traite pas le cas général ; il est pour cela souvent relégué au registre des divertissements. Sans lui enlever cette dernière qualité, son importance est fondamentale en mathématiques.
Fatal aux conjectures
Le contre-exemple n’est pas l’exception qui confirme la règle du « bon sens commun ». Un théorème est valable dans tous les cas où les hypothèses sont vérifiées. La négation d’un énoncé, c’est-à-dire l’affirmation qu’il est faux, est démontrée par l’existence d’un cas pour lequel les hypothèses sont vérifiées sans que pour autant la conclusion le soit. Ceci s’exprime dans le langage de la logique par le fait que nier la proposition « pour tout x, la proposition P(x) est vraie », c’est exactement affirmer l’assertion « il existe un x tel que P(x) est fausse ». Cet x particulier est le contre-exemple.
Pierre de Fermat (vers 1601–1665).
Prenons ainsi l’affirmation faite par Fermat en 1658 selon laquelle, pour tout entier n, le nombre Fn = 2 2 n + 1 est premier. Le mathématicien toulousain l’avait hâtivement justifié par le fait que F2 = 5, ...
Lire la suite