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Abstraite et purement algébrique, la notion de groupe ? Pas du tout! En géométrie, elle permet de ne pas se laisser submerger par la profusion et la diversité apparentes des transformations, ou encore d'appréhender les différents types de symétrie que l'on peut rencontrer.

La planète de la géométrie s’appelle espace affine. C’est un ensemble de points, en général définis à l’aide d’un repère composé d’une origine, souvent appelée O, et d’un certain nombre d’axes : deux pour un plan, trois pour l’espace classique… Cette dimension est celle de l’espace vectoriel associé à cet espace affine (voir encadré).

Espace affine et espace vectoriel associé

Un espace vectoriel réel est un groupe abélien (commutatif) pour son opération principale, l’addition, qui est donc associative et commutative, possède un élément neutre (le vecteur nul) et où chaque vecteur $\overrightarrow{\text{V}}$ possède un opposé $-\overrightarrow{\text{V}}$ .

Il existe en plus une autre opération, appelée multiplication externe (souvent représentée par un point . ), qui à un réel λ et un vecteur $\overrightarrow{\text{V}}$ associe le vecteur λ . $\overrightarrow{\text{V}}$ et possède les propriétés suivantes.

Pour tous réels λ et μ, pour tous vecteurs $\overrightarrow{\text{V}}$ et $\overrightarrow{\text{W}}$ :

$1. \overrightarrow{\text{V}} = \overrightarrow{\text{V}},$

$\lambda . \left(\overrightarrow{\text{V}} + \overrightarrow{\text{W}}\right) = \lambda . \overrightarrow{\text{V}} +\lambda . \overrightarrow{\text{W}} ,$

$\left( \lambda+ \mu \right) . \overrightarrow{\text{V}} = \lambda . \overrightarrow{\text{V}} + \mu . \overrightarrow{\text{V}} ,$

$\left( \lambda \mu \right) . \overrightarrow{\text{V}} = \lambda . \left( \mu ... <span style=$ Lire la suite

Des transformations géométriques en groupes

Gilles Cohen

dossier : Au-delà de l'algèbre

HS Kiosque 80 : Les groupes

Espace affine et espace vectoriel associé

références