Hormis si une équation différentielle est linéaire ou si elle est d’un type très particulier, il n’existe pas en général de méthode exacte pour la résoudre, c’est-à-dire pour en trouver une solution. On est donc souvent obligé de recourir à des méthodes approchées et à des schémas numériques.

Dès l’apparition des équations différentielles, au XVIIIe siècle, dans le cadre de la résolution de problèmes physiques, la recherche d’une solution approchée à l’aide d’une méthode numérique est apparue. La première méthode de ce type est due à Leonhard Euler et date des années 1760.

 

Une méthode due à Euler

On considère l’équation différentielle y’ = f (x, y) sur l’intervalle [a, b] avec la condition initiale y (a) = y0, où y0 est donné (par exemple par la physique du problème considéré, par une condition de bord connue…). La fonction f est une fonction de deux variables et y est, bien sûr, la fonction inconnue, dépendant d’une variable x. En fait, l’écriture « y’ = f (x, y) » est un condensé pour toutes les égalités y’(x) = f (x, y(x)), avec x appartenant à [a, b]. La fonction f doit être « suffisamment régulière » pour que l’équation admette une solution unique. En général, la continuité ne suffit pas.

Par exemple, sur l’intervalle I = [0, 100], l’équation différentielle y’ = 3y2/3, que l’on peut écrire  avec la condition initiale y (0) = 0, admet deux solutions : y(t) = 0 (la fonction nulle) et y (t) = t3 (la fonction cube) pour t appartenant à I. Il existe des théorèmes généraux donnant des conditions suffisantes sur f pour garantir ... Lire la suite