En 1737, Leonhard Euler a démontré, non sans astuce, que la somme des inverses des nombres premiers diverge aussi. Ce résultat a été redémontré par Paul Erdős via un très joli raisonnement par l’absurde en 1938.
C’est précisément Paul Erdős qui a poussé la réflexion un peu plus loin en se demandant ce que l’ensemble P des nombres premiers avait de si particulier dans cette histoire. Considérons donc un ensemble d’entiers naturels A ne contenant pas 1 et tel qu’aucun de ses éléments n’en divise un autre. C’est bien le cas de P ; vous trouverez facilement d’autres tels ensembles, finis ou non, vérifiant cette propriété. Paul Erdős a qualifié ces ensembles de primitifs et a démontré en 1935 que la somme est toujours finie.
Mieux encore, toutes ces sommes sont majorées par une certaine constante absolue, indépendante du choix de l’ensemble primitif ! En 1988, de passage à Limoges (Haute-Vienne), Paul Erdős a même conjecturé que la plus grande de ces sommes était en fait celle obtenue avec l’ensemble P des nombres premiers.
Des avancées majeures sur les ensembles primitifs
Dès 1991, quelques résultats allant dans le sens de la conjecture d’Erdős (voir ci-dessus) ont été établis. C’est ainsi que ...
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