Énoncé en 1936 par l’algébriste néerlandais Bartel van der Waerden, ce résultat (voir ci-dessous) n’avait jusqu’alors fait l’objet que d’approches incomplètes.
Cette conjecture était connue auparavant pour les polynômes de degré n ≤ 4 (travaux de van der Waerden lui-même, puis de Sam Chow et Rainer Dietmann). Un joli résultat général pour n « grand » est obtenu par David Zywina en 2010, qui améliore notamment des estimations obtenues par Patrick Ximenes Gallagher. Les mathématiciens faisaient donc depuis longue date le siège de cette conjecture ! Dans son article, Manjul Bhargava signale d’ailleurs que d’autres équipes n’étaient pas loin du résultat non plus.
La démonstration du mathématicien de Princeton a devancé les travaux de tous ses confrères. Elle tient en une trentaine de pages et n’a de spectaculaire que le fait d’avoir scindé l’ensemble de ces polynômes en trois parties, pour finalement borner le nombre de polynômes dans chaque partie par des méthodes adaptées à chacune d’elles.
Remarquable intuition de son auteur, qui avoue en toute simplicité : « J’y pensais de temps en temps depuis au moins sept ou huit ans. À toute heure, une idée pouvait venir, même à propos d’un autre problème, et je me disais : “Oh, cela aurait-il une application ici ?” »
