« […le] théorème suivant, que je crois vrai, bien que je n’aie pas encore réussi à le démontrer complètement : deux nombres entiers consécutifs, autres que 8 et 9, ne peuvent pas être des puissances exactes ; autrement dit, l’équation xm – yn = 1, dans laquelle les inconnues sont entières et positives, n’admet qu’une seule solution. »
Un fameux problème arithmétique était né !
Les progrès pour démontrer cette conjecture seront lents et porteront d’abord sur des cas particuliers. Dès 1850, le mathématicien français Victor-Amédée Le Besgue (1791‒1875) démontre que, pour tout nombre premier p, l’équation x p – y2 = 1 n’a pas de solution non triviale en nombres entiers.
Il faudra ensuite attendre plus d’un siècle avant que le mathématicien chinois Zhao Ke (1910‒2002) ne démontre le théorème suivant : si p est un nombre premier, alors les solutions triviales 32 – 23 = 1 et (–3)2 – 23 = 1 sont les uniques solutions de x2 – y p = 1.
Ensuite, en 1976, le mathématicien néerlandais Robert Tijdeman (né en 1943) démontre que l’équation de Catalan ne possède qu’un nombre fini de solutions en nombres entiers.
C’est seulement en 2002 que Preda Mihailescu (voir ci-dessous) publiera,
dans le même Journal de Crelle, la preuve de l’unicité de la solution 32 – 23 = 1.
