Comme chacun le sait, un nombre rationnel est un nombre x qu’on peut écrire sous forme d’une fraction x = a/b, où a est un entier (positif, négatif, ou nul) et b un entier naturel non nul. Ainsi, 1,25 = 5/4, ou encore 1/3 = 0, 333… sont des nombres rationnels.
Les mathématiciens de l’Antiquité avaient déjà découvert l’existence de nombres irrationnels – qui n’appartiennent pas à l’ensemble, qu’on note ℚ, des nombres rationnels –, via des figures géométriques fort simples.
Le théorème de Pythagore nous indique par exemple que la longueur de la diagonale d’un carré de côté 1 est un nombre x qui vérifie l’équation x 2 = 12 + 12 = 2. Or, des considérations arithmétiques à la portée d’un élève de lycée montrent que l’unique nombre positif x qui vérifie cette équation (qu’on note la racine carrée du nombre 2) ne peut s’écrire sous la forme a/b avec a et b entiers, autrement dit il ne peut pas être rationnel. Plus généralement, dès qu’un entier naturel y n’est pas un carré parfait (c’est-à-dire le carré d’un nombre entier), alors
est irrationnel.
Une quête au long cours
La recherche de solutions rationnelles à des équations algébriques ...
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