À l’origine était le calcul : dans toutes les cultures, les mathématiques lui réservent, à leurs débuts, une place prépondérante (utilisation de méthodes quasi algorithmiques en Chine ou en Mésopotamie pour résoudre des problèmes pratiques, algorithme d’Euclide en Grèce…). L’apport fondamental des Grecs est d’introduire des raisonnements sur des quantités infinies (comme l’ensemble des nombres premiers). Dès lors, le raisonnement et la construction d’une démonstration prendront peu à peu l’ascendant sur le calcul, évolution qui culminera au début du XXe siècle avec l’introduction de méthodes axiomatiques au moment d’une vaste réflexion sur les fondements mêmes des mathématiques. On a effectivement imaginé pouvoir construire toute démonstration sur des règles de déduction, à partir d’axiomes (cf. le programme de Hilbert).
