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Le roi de la géométrie : le théorème de Thalès


Hervé Lehning

En France, le théorème de Thalès concerne le parallélisme et la proportionnalité. Sa démonstration, qui mêle algèbre et géométrie plane, est très élégante. En outre, il permet d'obtenir naturellement deux résultats phares de la géométrie du triangle, les théorèmes de Ménélaüs et de Ceva.


Dans sa version classique, le théorème de Thalès est un théorème de géométrie plane. Un triangle OAB et une droite D parallèle au côté [AB] sont donnés. La droite D coupe les deux côtés [OA] et [OB] en deux points, P et Q

Le théorème de Thalès fournit alors la relation numérique suivante :

 

La méthode la plus simple pour démontrer cette égalité fait intervenir les aires de certains triangles. Elle utilise un lemme concernant deux triangles OAB et OBC construits sur une même droite (ABC). Ils possèdent la même hauteur (OH).

Leurs aires sont égales à la moitié des produits de OH par AB et BC, donc :

Ce résultat est valable dans toutes les configurations identiques, en particulier pour les triangles QOP et QPA d’une part et QOP et PQB d’autre part. On peut ainsi écrire :

 

 

 

Comme les deux triangles QPA et QPB ont la même base (PQ) et la même hauteur (la distance entre les deux droites (PQ) et (AB)), ils ont même ... Lire la suite gratuitement