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Théorie des nombres, une riche actualité !


Élisabeth Busser

Un biais inattendu dans la répartition des nombres premiers vient d'être mis à jour. Au même moment, Andrew Wiles reçoit le prix Abel.


Belle surprise chez les nombres premiers

 
On croyait tout savoir sur la répartition des nombres premiers, eh bien, non ! Une prépublication du 11 mars 2016 met en évidence une propriété étonnante de ces fameux entiers qui n’ont de diviseurs qu’eux-mêmes et l’unité. Ses auteurs, Robert Lemke Oliver et Kannan Soundararajan, tous deux de l’université Stanford (Californie, États-Unis), se sont intéressés aux restes dans la division par q (surtout pour q = 10) de paires de nombres premiers consécutifs. Stupeur : les nombres premiers ont des préférences bien définies quant aux dernières décimales des nombres premiers qui les suivent.
 
Leur démarche a d’abord été expérimentale, statistique : par exemple, dans le premier milliard de nombres premiers, un nombre premier se terminant par 9 aura 65% plus de chances d’être suivi d’un autre se terminant par 1 que d’un nombre premier terminé par 9. Autrement dit, les nombres premiers repoussent des suivants terminés par la même décimale, et les chercheurs ont présenté de leurs résultats des preuves théoriques, en train d’être examinées. Tout se passerait donc comme si la distribution des nombres premiers était biaisée. Cela rejoint d’ailleurs un peu le « biais de Tchebychev », que le mathématicien russe avait formulé en 1853 : « La plupart du temps, il y a plus de nombres premiers de la forme 4k + 3 que 4k + 1, au-delà d’une certaine limite. » Là encore, une nouvelle voie vient de s’ouvrir…
 

Une nouvelle dédiée à Wiles

 
On serait tenté de dire que cela n’a rien à voir avec le « dernier » théorème de Fermat, si ce n’est le titre, le Meilleur Théorème de Fermat, mais cette nouvelle publiée en 1995 par l’auteure américaine de science-fiction Janet Kagan, disparue en 2008, a un trait original, lié au fameux théorème. Voilà que certains personnages font partie d’un club très fermé, le Marginalia. Ce terme, soit dit en passant, désigne les notes que peut écrire un lecteur ou un copiste en marge d’un ouvrage, exactement comme Fermat lui-même l’avait fait en griffonnant en marge de son Arithmétique de Diophante. Cependant, l’originalité est ailleurs : ce club, où l’on n’est accepté que sur invitation, est constitué de sept mathématiciens vivants parmi les plus importants. Et comment devient-on membre ? La devise du club vous mettra peut-être sur la voie : « Je sais le résoudre. » Résoudre quoi ? Le théorème de Fermat, voyons !
 
Eh oui, le Marginalia est le club de ceux qui savent résoudre ce théorème mais s’engagent à ne pas publier leur démonstration, ce qui signifie que, pour la prochaine personne qui résoudra le dernier théorème de Fermat, ce sera comme si elle était la première ! Janet Kagan avait dédié sa nouvelle à Sir Andrew Wiles, « avec un grand sourire ».


Andrew Wiles : le prix d’une vie

 
L’Académie norvégienne des sciences et des lettres a décerné le prix Abel 2016 à Sir Andrew Wiles, de l’université d’Oxford, pour avoir « démontré de manière éclatante le dernier théorème de Fermat par le biais de la conjecture de modularité pour les courbes elliptiques semi-stables, ouvrant ainsi une nouvelle ère dans la théorie des nombres ». C’est en ces termes que le président de cette vénérable académie a annoncé à Oslo, le 15 mars, le gagnant du prix Abel, richement doté.
C’est, chez Andrew Wiles, l’œuvre d’une vie que ce prix a récompensé. Ayant découvert à 10 ans un livre sur le dernier théorème de Fermat, Wiles n’a jamais lâché cette énigme mathématique… jusqu’à ce jour de 1993 où il fait part, à un public admiratif, lors d’un séminaire à Cambridge, de sa découverte. La liesse a été de courte durée, car sa démonstration avait une faille, mais qu’à cela ne tienne : Wiles se remet au travail, corrige sa démonstration, la simplifie, et cette fois c’est la gloire !
Jamais un mathématicien n’avait à ce point fait les grands titres de la presse internationale. Pensez, un théorème qu’on tentait de démontrer depuis trois siècles et demi, et qui pourtant avait un énoncé si simple : si n est un entier naturel supérieur à 3, l’équation xn + yn = zn n’a aucune solution entière en nombres strictement positifs. Wiles y a travaillé pratiquement huit années, seul et souvent en secret. Il a ouvert, chemin faisant, de nouvelles voies aux mathématiques, développant des idées et des techniques novatrices.
Andrew Wiles travaille désormais à Oxford, au « Andrew Wiles Building », ouvert en 2013 et nommé en son honneur.