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Aires et primitives, une liaison intime


Hervé Lehning

Aires et primitives sont associées depuis les travaux fondateurs de Leibniz et de Newton au XVIIe siècle. Ce lien a permis de simplifier le calcul de nombreuses surfaces du plan, mais la relation entre aire et intégrale est en fait bien plus profonde que cette question calculatoire.


Tant que l’on s’en tient aux rectangles et aux triangles, la notion d’aire est élémentaire. En les décomposant en triangles, on peut également facilement définir l’aire des polygones, ce qui permet a priori d’approcher celle de tous les domaines du plan. En fait, non ! C’est plus compliqué que cela : on doit distinguer entre les domaines, que l’on dit quarrables, possédant une aire, et les autres (voir le Calcul intégral, Bibliothèque Tangente 50). Mais ici, nous nous restreindrons aux domaines quarrables. La propriété essentielle est alors la suivante : l’aire est additive. Plus précisément, si l’on considère deux domaines dont l’intersection est d’aire nulle (c’est le cas des lignes), alors l’aire de leur réunion est égale à la somme des aires.


Sous la courbe, la surface

 

Admettons que, si f est continue (et positive) sur un intervalle I, le domaine situé sous la courbe d’équation y = f(x) entre les abscisses a et x possède une aire, que l’on note F(x). La ... Lire la suite