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Exquises surfaces minimales


Hervé Lehning

Une surface est minimale lorsque, son bord étant fixé, son aire est la plus petite possible. Une réalisation physique des surfaces minimales est offerte par les bulles de savon.


Selon la légende, la princesse phénicienne Didon débarqua sur le site de l’actuelle Carthage vers 800 avant notre ère. Les habitants acceptèrent de lui céder autant de terrain que la peau d’un bœuf pourrait en englober. L’astucieuse princesse coupa alors la peau en fines lanières, pour en faire une longue corde qu’elle déposa en cercle pour maximiser l’aire du terrain englobé (ou peut-être un demi-cercle, bordé par le rivage…). On parle de problème isopérimétrique : le périmètre d’une courbe étant donné, déterminer ce que doit être cette courbe pour qu’elle englobe la plus grande aire possible.
La question se généralise à la dimension supérieure : pour une surface extérieure donnée, le volume maximal possible est celui d’une sphère. C’est une manière d’expliquer la forme sphérique d’une bulle de savon : le film tend à minimiser son énergie, elle-même fonction de sa surface.


Surface obtenue expérimentalement en trempant deux cercles accolés dans de l’eau savonneuse, puis en perçant la bulle centrale, avant d’écarter les deux cercles.

 

 

 

 

Le statut particulier de la sphère

Si la sphère est minimale sous ... Lire la suite


références

Dossier « Calculs astucieux de périmètres, d'aires et de volumes ». Tangente 154, 2013.
« Le problème de Plateau ». Guy David, exposé à Mons en mars 2012, planches disponibles en ligne.
Le graveur de mathématiques. Documentaire sur Patrice Jeener, 28 mn, 2016, disponible gratuitement à la bibliothèque de l'Institut Henri Poincaré pour usage personnel.