Les triangles de Heilbronn


Jean-Louis Legrand

Comment placer des points dans une zone du plan pour maximiser la plus petite aire définie par trois d'entre eux ? Malgré le caractère élémentaire de cet énoncé de géométrie, aucune réponse générale à ce problème n'est encore connue aujourd'hui !


Le mathématicien germano-canadien Hans Arnold Heilbronn (1908–1975) était un spécialiste de théorie des nombres. La conjecture qui porte son nom appartient à la géométrie discrète : le problème des triangles de Heilbronn consiste à placer N points sur un ensemble prédéterminé de sorte que la plus petite aire des triangles qu’ils forment soit la plus grande possible. 

L’optimisation porte ainsi sur les  triangles dont les sommets sont trois des N points (avec N ≥ 3).

Le problème original a été posé dans le carré unité (d’aire 1), les points pouvant être placés n’importe où à l’intérieur ou sur le bord. L’aire optimale à trouver est appelée nombre de Heilbronn, et notée H(N). Par la suite, le problème a été étendu à toutes sortes de figures.

Aucune solution générale n’est connue au problème de Heilbronn : l’emplacement optimal des points et l’aire optimale ne sont connus que pour quelques valeurs de N. La recherche porte aujourd’hui sur les estimations et sur les méthodes d’approximation.

 
Le cas du carré

Au début pourtant, tout va bien. Il est ... Lire la suite


références

 Dossiers « Mathématiques autour du monde : la Hongrie » et « La recherche opérationnelle ». Tangente 126, 2009.
The Heilbronn Problem for Circles. Sur le site « Erich's Place », administré par Erich Friedman.