Au XVIIe siècle, Blaise Pascal a inventé une suite de nombres permettant de calculer le reste d’une division euclidienne, et donc de tester la divisibilité d’un entier par un autre.
Un nombre n étant donné, Pascal considère la suite des restes des puissances de 10 par n en commençant par la puissance 0. Si n = 7, cela donne :
En effet, le reste de 1 est 1 (!), le reste de 10 est 3, celui de 100 est 2… et la suite des restes est périodique. Ce résultat n’est pas lié au nombre 7, il est général. En effet, les restes possibles sont au nombre de n (compris entre 0 et n – 1). Ainsi, parmi les restes des puissances de 0 à n, deux au moins sont égaux, soient les puissances k et k’ (avec k > k’ par exemple). Ceci s’écrit 10 k ≡ 10 k ’ \[n\], soit encore 10 k – k ’ ≡ 1 \[n\]. On en déduit que la suite est périodique, et sa période divise k – k ’.
Cette suite est le ruban de Pascal associé à 7.
