Les rubans de Pascal


Hervé Lehning

Par le passé, les questions arithmétiques intéressaient aussi bien les marchands et les comptables que les savants. Ainsi, Blaise Pascal a introduit au XVIIe siècle un procédé qui permet de tester de manière automatique si un entier est divisible par un autre.


Au XVIIe siècle, Blaise Pascal a inventé une suite de nombres permettant de calculer le reste d’une division euclidienne, et donc de tester la divisibilité d’un entier par un autre.

Un nombre n étant donné, Pascal considère la suite des restes des puissances de 10 par n en commençant par la puissance 0. Si n = 7, cela donne :

 

En effet, le reste de 1 est 1 (!), le reste de 10 est 3, celui de 100 est 2… et la suite des restes est périodique. Ce résultat n’est pas lié au nombre 7, il est général. En effet, les restes possibles sont au nombre de n (compris entre 0 et n – 1). Ainsi, parmi les restes des puissances de 0 à n, deux au moins sont égaux, soient les puissances k et k’ (avec k > k’ par exemple). Ceci s’écrit 10 k    10 k  [n], soit encore 10 k – k   1 [n]. On en déduit que la suite ... Lire la suite


références

 Knots and Borromean rings, rep-tiles and eight queens. Martin Gardner, Cambridge University Press, 2014.
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