L'émergence des fonctions discontinues


Bertrand Hauchecorne

Jusqu'au début du XIXe siècle, tout semblait continu. Avec les séries trigonométriques, les fonctions discontinues sont entrées en scène. Elles ont motivé Riemann à généraliser la notion d'intégrale, poussé Weierstrass à préciser la notion de continuité et amené Darboux à étudier les fonctions dérivées.

La pensée scientifique qui prit corps à la Renaissance avec Galilée et Descartes s’est employée à rechercher la régularité dans les phénomènes physique et, en parallèle, dans leur modélisation mathématique. Bien que l’hypothèse divine ne soit plus le moteur de la compréhension du monde, la croyance en Dieu était toujours vivace et il ne faisait aucun doute que Dame Nature répondait à Son désir de beauté, qualité qui se réalisait dans la régularité du monde. Cela explique peut-être pourquoi la notion de discontinuité était totalement absente de la recherche scientifique.

 

Dirichlet et les fonctions trigonométriques 

Pour parler de fonctions discontinues, encore faut-il définir précisément la notion de fonction, mais surtout celle de continuité ! Jusqu’à la fin du XVIIIe siècle, une fonction était définie par une expression, éventuellement deux, qui se composaient de puissances, de racines, de logarithmes et se trouvaient de facto continues (voir les Fonctions, Bibliothèque Tangente 56, 2016). Le souci d’introduire une notion précise de continuité se développe au début du siècle suivant avec Bolzano et Cauchy et trouve son achèvement vers 1860 avec Karl Weierstrass et ses élèves.

 

Augustin Louis, baron Cauchy (1789–1857), ... Lire la suite