Générer des courbes en CAO


Martine Brilleaud

La conception assistée par ordinateur (CAO) débute avec les premiers ordinateurs graphiques dans le milieu de la conception industrielle. Les algorithmes de design géométrique sont la base de la représentation 3D.

Une parabole à partir de trois points

Partons de trois points P0, P, et P2. On applique l’algorithme suivant, qui comprend deux étapes :

On note Q 0 et Q 1 les milieux des deux segments [ P0P1 ] et [ P1P2 ] ;
On note R le milieu du segment [ Q 0Q 1 ].

En sortie, on obtient un point R et deux suites de trois points, P0, Q 0, R et R, Q 1, P2, sur lesquelles on peut réitérer l’algorithme.

Tous les points construits de cette manière appartiennent à une parabole (qui passe donc par P0, R et P1). Le polygone P0P1P2 est appelé polygone de contrôle de la parabole.

Cet algorithme, consistant uniquement à tracer des segments et à en déterminer le milieu, est aisé à mettre en œuvre (avec une règle et un compas, ou tout logiciel de géométrie dynamique). Il est également adapté aux processus de compression puisque l’on peut lui adjoindre un critère d’arrêt qui dépend de la résolution voulue.

 

Augmenter le degré

L’algorithme de de Casteljau - car c’est de lui qu’il s’agit - utilisé pour générer une parabole (voir ci-dessous) peut être légèrement modifié, en ajoutant une étape, de manière à pouvoir être appliqué à un polygone à quatre sommets. On engendre alors une cubique.

Lorsque les quatre ... Lire la suite