π et les nombres premiers
Vous êtes-vous déjà demandé combien il y a de nombres premiers Pn commençant par les premiers k chiffres de π ? Regardons de plus près l'expansion décimale du plus célèbre des nombres transcendants. On trouve facilement les quatre premiers :
P1 = 3, P2 = 31, P3 = 314 159,
P4 = 31 415 926 535 897 932 384 626 433 832 795 028 841.
Et les suivants ? À ce jour, on n'en connaît que trois autres, longs respectivement de seize mille deux cent huit, quarante-sept mille cinq cent soixante-dix-sept et soixante-dix-huit mille soixante treize chiffres !
π, qui es-tu ?
Certaines approximations de π, ou avec π, sont spectaculaires. Ainsi :
(extraordinaire Ramanujan !).
Un étonnant « pangramme numérique » (expression qui contient tous les chiffres, de 0 à 9), trouvé par le mathématicien Ed Pegg Jr, utilise une fois et une seule chacun des chiffres pour proposer une approximation de π à 10–10 près :
3 + [10 – (9 – 8–5)–6] / (7 + 2–4).
Saurez-vous faire mieux ?
La séquence de six 9 commençant à la 762e décimale de la représentation décimale de π se nomme le point de Feynman, en l'honneur du fameux physicien qui avait confié avec humour, lors d'une conférence, qu'il aimerait bien mémoriser les décimales de π jusqu'à ce point afin de pouvoir les réciter en finissant par « neuf-neuf-neuf-neuf-neuf-neuf et… ainsi de suite ! », laissant penser que π est un nombre rationnel.
Enfin, on ne sait toujours pas démontrer aujourd'hui que le nombre gigantesque n'est pas un entier (quatre niveaux d'exponentiation). Véridique ! Quant à décider s'il s'agit ou non d'un nombre irrationnel, c'est encore une autre paire de manches…
Utopie en base π
Imaginons un « système de numération en base π ». Nous aurions dès lors 10π = π, et ainsi
100π =π2 , 1 000π =π3, etc.
Ce système pourrait être utilisé pour mieux visualiser la relation entre le diamètre d'un cercle et sa circonférence. Aussi, un cercle ayant un diamètre d'une unité en base π aurait une circonférence de 10π, alors qu'un cercle avec un diamètre de 10π unités aurait une circonférence de 100π, et ainsi de suite.
De plus, un cercle ayant un rayon d'une unité aurait une aire de 10π unités2, tandis qu'un cercle avec un rayon de 10π aurait une aire de 1000π unités2.
Le seul petit problème ? D'abord, convertir un entier en une base transcendantale est une gageure. Par exemple :
4= 10,22012202112111030100...π
Le pire, c'est que les entiers n'ont pas forcément une unique représentation !