♦♦♦♦ La preuve par 27

Michel Criton

 

On sait qu’un nombre entier est divisible par 3 si, et seulement si, la somme de ses chiffres est un multiple de 3. De la même façon, un nombre est divisible par 9 si, et seulement si, la somme de ses chiffres est un multiple de 9. Cette propriété est la base de la célèbre « preuve par 9 ».

En revanche, un entier peut être divisible par 27 sans que la somme de ses chiffres soit elle-même un multiple de 27. Les exemples u = 81 = 27 × 3 et v = 324 = 27 × 12 permettent de s’en convaincre.

1) Montrez qu’un nombre dont la somme des chiffres est un multiple de 27 n’est pas obligatoirement lui-même divisible par 27.

2) Montrez que si un nombre possède une somme des chiffres divisible par 27 sans être lui-même divisible par 27, alors il existe toujours une permutation des chiffres de ce nombre permettant d’obtenir un multiple de 27.

 

 

SOURCES

Revue La Recherche