Pourtant, il est l'auteur d'un article dans lequel il dote l'analyse de fondements rigoureux et désormais adoptés (Journal für die reine und angewandte Mathematik, octobre 1871). Il explique que les progrès de l'étude des fonctions sont entravés parce qu'elle ne repose pas sur des théorème fondamentaux et indispensables. Très modeste, il explique que son texte suit les principes de M. Weierstrass et que le contenu provient de ses cours et d'échanges oraux avec lui. Il expose en premier une construction des nombres réels qu'il doit à Georg Cantor. Il définit ensuite proprement la notion de fonction continue et démontre que toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes, ainsi que le théorème des valeurs intermédiaire. Il ne lui reste plus qu'à conclure en énonçant et en démontrant le théorème qui, fort justement, porte aujourd'hui son nom.
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