Adhérez aux groupes !

Fabien Aoustin

dossier : Nombres, opérations, structures

HS Kiosque 61 : Les ensembles

Apparue dans le cadre de la résolution d'équations au XIXe siècle, et vite devenue inévitable, la notion de groupe a permis de mettre en exergue des analogies entre des situations a priori bien différentes. Essayons de comprendre pourquoi les mathématiciens ont l'esprit de groupe.

Voici quatre objets alignés.

Vous pouvez les réorganiser autrement, par exemple en agissant ainsi :

Une première permutation, $\sigma_1$ :

Ce réarrangement est une permutation des quatre objets.

Il existe bien d'autres permutations ; en voici une deuxième.

Une deuxième permutation, $\sigma_2$ :

Quand les structures sont les mêmes…

Voilà un jeu bien amusant ; quelle structure se cache derrière tout ça ?

Ce qui peut paraître surprenant au premier abord, c'est le fait de considérer que l'ensemble des
permutations de quatre objets n'est pas sans rappeler l'ensemble des entiers relatifs. Pour s'en rendre compte, il ne faut pas seulement s'intéresser à ces deux ensembles comme de simples collections d'objets, mais les munir aussi d'une opération. Pour les entiers, ce sera l'addition. On peut toujours additionner deux entiers : le résultat de cette opération produit encore un entier.

Pour les permutations, ce sera la composition : il suffit de les enchaîner l'une après l'autre pour obtenir encore une permutation. Voici ce que donnerait par exemple l'enchaînement des deux permutations $\sigma_1$ et $\sigma_2$ . On note cette nouvelle permutation $\sigma_2\circ\sigma_1$ .

Composition de deux permutations :

Les parenthèses sont inutiles dans les deux cas : si a, b ... Lire la suite

références

- Évariste Galois, un génie romantique. Tangente SUP 60, 2011.
- Henri Poincaré, le dernier savant universel. Tangente SUP 67-68, 2013.
- La symétrie ou les maths au clair de Lune. Marcus du Sautoy, Héloïse D'Ormesson, 2012.
- Groupes finis : les mathématiques du Rubik's Cube. Cours proposé par Pierre Guillot, Viktoria Heu et Nicolas Pastant, Université de Strasbourg, disponible en ligne.

Retour au sommaire du numéro

-- -- -- -- -- -- FOCUS -- -- -- -- -- --

Le groupe des fondateurs

Le groupe des fondateurs

Le concept de groupe s'est dégagé petit à petit dans l'histoire des mathématiques. On doit à une poignée de savants les fondements de la théorie.

Tout commence avec l'étude des équations polynômiales de degré 5, de la forme a₅x⁵ + a₄x⁴ + a₃x³ + a₂x²+ a₁x + a₀ = 0. Personne ne sait les résoudre au XVIII^esiècle, mais Joseph-Louis Lagrange commence à s'intéresser aux relations entre les solutions et, en particulier, aux permutations des solutions qui laissent ces relations invariantes. L'Italien Paolo Ruffini, puis le jeune Norvégien Niels Abel, poursuivent sur cette voie, mais c'est le Français Évariste Galois qui jette véritablement les grandes bases de la théorie dans trois articles publiés entre 1829 et 1831.

Figure romantique du génie, mort dans un duel à seulement 20 ans, Évariste Galois a l'idée incroyable d'associer à chaque équation un groupe. Il montre alors qu'une équation n'est résoluble par radicaux (c'est-à-dire en utilisant uniquement les opérations usuelles comme l'addition, la multiplication, l'extraction de racines carrées…) qu'à certaines conditions sur le groupe associé, et que cette condition n'est plus toujours vérifiée à partir du degré 5 : il existe des équations de tout degré (supérieur à 5) qui ne sont pas résolubles par radicaux.

Hélas, la mort prématurée de Galois et l'âpreté de ses écrits n'ont pas permis une juste reconnaissance de ses découvertes dans l'immédiat. Il faut attendre une quinzaine d'années pour que ces résultats soient mis à la portée de tous. C'est Camille Jordan qui, à l'approche des années 1870, remet les groupes sur le devant de la scène en affinant notamment les résultats d'Abel. D'autres savants lui emboîtent le pas : Ludwig Sylow (à qui l'on doit de beaux résultats sur les groupes finis) puis Félix Klein et Sophus Lie essaiment la nouvelle théorie partout en Europe. Dans le même temps, Arthur Cayley, William Hamilton ou encore Leopold Kronecker affinent les définitions pour se rapprocher de celles que nous connaissons aujourd'hui.

Les groupes ont dès lors gagné toutes les branches des mathématiques : on considère que c'est le choix d'un groupe de transformations qui détermine la géométrie dans laquelle on travaille ; l'analyse est remodelée par l'étude de groupes continus ; la topologie prend son envol pour le siècle à venir…

Courbes et groupes

Courbes et groupes

Il est possible de munir une courbe d'une structure de groupe ! Considérons par exemple un point donné E d'une ellipse. À deux points A et B de cette ellipse, on peut associer le point A*B égal à l'intersection de la parallèle à (AB) passant par E avec l'ellipse. Si jamais A et B sont confondus, il suffit de remplacer la droite (AB) par la tangente à l'ellipse en A. Cette opération munit l'ensemble des points de l'ellipse d'une structure de groupe dont l'élément neutre est E !

Cela peut être une façon astucieuse de redémontrer le théorème de l'hexagramme mystique de Pascal, qui affirme que les trois points d'intersection des côtés opposés d'un hexagone inscrit dans une ellipse sont alignés. Il est aussi courant de munir les courbes de degré 3 d'une structure de groupe. Les applications sont particulièrement riches dans le domaine de la cryptographie, où ces groupes fournissent des méthodes de chiffrement raffinées et très difficiles à « cracker » !