La construction progressive des ensembles de nombres a pris du temps. Au quatrième millénaire avant notre ère, pour enregistrer leurs opérations comptables, les Sumériens utilisaient un système de jetons modelés dans de l'argile, que l'on nomme calculi (du latin « petites pierres ») par analogie avec les cailloux qui servaient à l'apprentissage du calcul. Ceux-ci étaient glissés dans une sphère creuse, la bulle, sur laquelle était apposé un sceau. En cas de doute quant à la quantité de bêtes confiées à un berger, il suffisait de briser la bulle pour vérifier qu'aucune bête ne manquait. S'il n'y a pas nécessairement de correspondance entre les formes imprimées sur la bulle et celles des calculi qui y sont inclus, on observe toujours une correspondance de nombres. Vers –3300, on convint d'apposer sur la bulle, à côté du sceau, sous forme d'une sorte de bordereau, un résumé de son contenu, rendant ce dernier obsolète. Les bulles s'aplatirent pour devenir des tablettes. L'écriture et les premières représentations de nombres étaient nées de la nécessité du dénombrement. Mais quel chemin restait-il encore à parcourir pour arriver à la notion contemporaine de nombre !
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La puissance de l'axiomatisation
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Au commencement étaient les nombres entiers, dits naturels. Leur construction peut se faire, formellement, à partir de la théorie des ensembles, et plus particulièrement de l'ensemble vide. Le premier à en avoir proposé en 1889 une axiomatique satisfaisante est Giuseppe Peano (1858-1932). Comme toute axiomatique, elle est constituée d'hypothèses d'existence d'objets et de relations entre ces objets. Comme toute axiomatique, elle reprend nos schémas cérébraux constitués de neurones (objets) et de synapses (relations entre ces objets). Peano considère un ensemble contenant un élément particulier a et postule l'existence d'une application
