Une construction avant-gardiste
Bien avant la naissance de Benoît Mandelbrot, Georg Cantor décrit en 1883 le premier ensemble fractal, vingt ans environ avant que von Koch introduise son fameux flocon. Sa construction est typique des fractals, même si le résultat esthétique est quasi nul, cet ensemble étant linéaire. On part du segment C0 = [0, 1]. On lui retire l'intervalle ouvert médian, de longueur le tiers de celle de C0, soit ]1/3, 2/3[. On obtient C1 = [0, 1/3] [2/3, 1]. On recommence sur chacun des deux segments constituant C1. On obtient C2, qui est réunion de quatre segments de longueur 1/9 : [0, 1/9], [2/9, 3/9], [6/9, 7/9] et [8/9, 9/9]. On continue ainsi pour obtenir Cn, qui est la réunion de 2n segments disjoints de longueur 1/3n, dont la longueur totale ln est (2/3)n. L'ensemble triadique de Cantor C s'obtient à la limite, comme intersection de tous les Cn. On l'appelle aussi poussière de Cantor à cause de son aspect.
La longueur de Cn tend vers 0 : à la limite, la longueur de C est nulle. De même, C ne peut contenir aucun intervalle ouvert, aussi petit soit-il : il est d'intérieur vide. Enfin, une suite convergente d'éléments de C a sa limite dans C : l'ensemble triadique de ...
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