Pouvoir choisir un élément dans un ensemble, cela semble naturel. Pourtant, cela ne l'est véritablement que si l'ensemble est fini. Au-delà, un axiome est nécessaire pour pouvoir choisir ! Certaines conséquences de cet axiome sont étonnantes, alors… faut-il l'accepter ?
L'axiome du choix consiste en la possibilité de choisir un élément dans tout ensemble non vide. Plus précisément, pour un ensemble E donné, quelconque, il s'agit de déterminer une fonction de choix sur E, c'est-à-dire une fonction ayant comme ensemble de départ 
*(E), l'ensemble des parties de E privé de l'ensemble vide, et E comme ensemble d'arrivée.
Choisir, c'est imaginer…
La particularité d'une fonction de choix est d'associer à toute partie de *(E) l'un de ses éléments. Par exemple, si E = {1, 2, 3, 4, 5}, on définit une fonction de choix en associant à toute partie de E son plus petit élément. Cette idée se généralise si l'on remplace E par un ensemble dont on peut numéroter les éléments, c'est-à-dire un ensemble fini ou dénombrable. De façon plus générale, ce raisonnement montre que l'on peut créer une fonction de choix sur les ensembles bien ordonnés, c'est-à-dire dans lesquels toute partie non vide admet un plus petit élément. L'ordre est alors qualifié de bon. Hélas, la bonté des ordres est une chose relativement rare parmi les ordres usuels !
Mis à part ce raisonnement concernant les ensembles bien ordonnés, on ne voit pas bien ...
Lire la suite
