Tout commence avec le chiffre 1. Décidons de construire une suite en doublant, à chaque étape, le dernier nombre obtenu : on trouve 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1 024, 2 048, 4 096, 8 192, 16 384, 32 768, 65 536…, à savoir la suite des puissances de 2. Classique !
Introduisons maintenant une « loi d’interruption » dans ce processus : la suite s’arrête dès qu’un terme contient au moins un chiffre en plusieurs exemplaires. C’est le cas ici avec 65 536, qui comporte deux « 5 » (et aussi deux « 6 »). La suite s’interrompt net. Fixons une « loi de reprise » : la suite reprend avec le nombre obtenu en effaçant du dernier terme (ici 65 536) tous les chiffres qui ont des copies. On enchaîne donc avec 3, et la suite devient alors 65 536, 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, 768, 1 536, 3 072, 6 144 (interruption), 61 (reprise), 122 (interruption), 1 (reprise), lequel terme nous ramène au début de la procédure.
Sortir des boucles
Ce genre de boucle est amusant et pose déjà quelques questions arithmétiques (comment caractériser les suites qui vont boucler ? quelle est la longueur moyenne d’une suite qui boucle ?). Mais la façon la plus élémentaire d’échapper aux boucles est d’introduire ...
Lire la suite