Soit un ensemble de n points tels que toute droite joignant deux quelconques d’entre eux passe par un troisième point de cet ensemble. Les n points sont-ils obligatoirement tous alignés ?
Sylvester pensait que la réponse était négative dans le cas du plan projectif complexe, mais il n’avait aucune idée de la réponse dans le cas du plan euclidien. Le problème resta en sommeil et sans solution pendant quarante ans.
En 1933, le mathématicien hongrois Paul Erdös (1913–1996), qui n’avait pas connaissance de la question posée par Sylvester, se pose le même problème, dont il ne trouve pas la solution.
Une première résolution utilisant le plan projectif lui sera fournie par son compatriote et ami Tibor Gallai (1912–1992). Puis, en 1943, Erdös propose à nouveau le problème dans l’American Mathematical Monthly.
1. Soit un ensemble de n points tels que toute droite joignant deux quelconques d’entre eux passe par un troisième point de cet ensemble. Montrez que ces n points sont alignés.
2. Étant donnés n points non tous alignés, démontrez que si l’on joint ces points deux à deux, on obtient au moins n droites distinctes.
Ce n’est qu’en 1948 que le mathématicien américain Leroy Milton Kelly (1914–2002) publie une démonstration élémentaire de la propriété 1.