La formule du crible de Poincaré permet de calculer le cardinal d'une réunion finie d'ensembles finis en fonction des cardinaux de ces ensembles et de ceux de leurs intersections.
On note |A| le cardinal d’un ensemble fini A, à savoir son nombre d’éléments.
Ainsi, |A1 A2| = |A1| + |A2| − |A1
A2|,
|A1 A2
A3| = |A1| + |A2| + |A3| − (|A1
A2| + |A2
A3| + |A1
A3|) + |A1
A2
A3|, et ainsi de suite.
On connaît aussi cette formule sous le nom de principe d’inclusion-exclusion. On l’applique pour des questions de dénombrement dont le problème des chapeaux est un exemple emblématique : les chapeaux d’une assemblée de n personnes ayant été pris au hasard, quelle est la probabilité qu’aucune personne ne reparte avec son chapeau ? Avec Ai l’évènement « la personne i est partie avec son chapeau », la formule du crible de Poincaré permet d’établir que cette probabilité tend vers 1/e (environ 36,8 %).
