Une vision novatrice des mathématiques

Henri Poincaré revisite à sa manière chacun des domaines mathématiques qu'il choisit d'investiguer. Il préfère penser par lui-même, redécouvrir les résultats majeurs, mettre l'accent sur l'étude qualitative des solutions des équations différentielles. En cela, il fait un choix novateur qui lui permet d'ouvrir de vastes horizons scientifiques, ou d'en renouveler avec créativité, comme les géométries non euclidiennes. Il accumule ainsi des découvertes originales dont résulte une grande et rapide notoriété et incarne l'interaction des multiples domaines mathématiques. Faisant dialoguer topologie et géométrie, il ouvre des voies qui, des décennies après sa mort, sont toujours fécondes.

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On associe rarement Poincaré au calcul des probabilités. Et pourtant ! Ses écrits et son enseignement nous renseignent sur ses travaux et réflexions en la matière. S'il n'a pas révolutionné la théorie des probabilités, il a eu le mérite de poser les bonnes questions.


Le cinquième postulat d'Euclide est différent des autres, il semble démontrable. Sa négation conduit pourtant à d'autres géométries, dites non euclidiennes. Elles ont leur place dans l'édifice mathématique et ont des applications aussi bien en arithmétique, comme Poincaré l'a montré, qu'en relativité générale.


Qu'est-ce qu'un polyèdre ? Au cours de l'histoire, plusieurs caractérisations sont données, régulièrement mises en défaut par la présentation de « monstres », comme autant de contre-exemples. Retour sur cette épopée qui trouve son épilogue dans les travaux de Poincaré.


En bref : La conjecture de Poincaré

Daniel Lignon

À la fin du XIXe siècle, suite aux travaux de Poincaré et de nombreux autres mathématiciens, comme Bernhard Riemann (1826-1866) ou Enrico Betti (1823-1892), la topologie des surfaces de notre espace usuel est bien connue.



En bref : L'approche qualitative : un détour fécond

Jean Aymès

Tout lycéen apprend à exprimer explicitement les racines réelles d'une équation polynomiale du second degré à partir de racines carrées. Cela devient beaucoup plus difficile pour des équations de degré plus élevé et impossible à partir ...



En bref : Sur le raisonnement par récurrence

Marc Thierry

« C'est donc bien là le raisonnement mathématique par excellence et il nous faut l'examiner de plus près » (La Science et l'Hypothèse, « Sur la nature du raisonnement mathématique »).



En bref : Le crible de Poincaré

Michel Criton

La formule du crible de Poincaré permet de calculer le cardinal d'une réunion finie d'ensembles finis en fonction des cardinaux de ces ensembles et de ceux de leurs intersections.



En bref : Un étudiant hors normes

Jean Aymès et Jean-Jacques Dupas

Les enseignants qui ont croisé la route de d'Henri Poincaré se souviennent d'un élève brillant et atypique.



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