À la fin du XIX^e siècle, suite aux travaux de Poincaré et de nombreux autres mathématiciens, comme Bernhard Riemann (1826-1866) ou Enrico Betti (1823-1892), la topologie des surfaces de notre espace usuel est bien connue.

Tout lycéen apprend à exprimer explicitement les racines réelles d'une équation polynomiale du second degré à partir de racines carrées. Cela devient beaucoup plus difficile pour des équations de degré plus élevé et impossible à partir du cinquième degré.

« C'est donc bien là le raisonnement mathématique par excellence et il nous faut l'examiner de plus près » (La Science et l'Hypothèse, « Sur la nature du raisonnement mathématique »).

La formule du crible de Poincaré permet de calculer le cardinal d'une réunion finie d'ensembles finis en fonction des cardinaux de ces ensembles et de ceux de leurs intersections.

Les enseignants qui ont croisé la route de d'Henri Poincaré se souviennent d'un élève brillant et atypique.