La convexité se rencontre naturellement dans le plan et dans l’espace, comme l’illustrent les pages précédentes. En fait, elle trouve sa place de la même manière dans l’espace ℝn à n dimensions et dans des espaces vectoriels plus généraux (y compris de dimension infinie).
C’est une notion particulièrement riche par ses propriétés et ses applications. Que se passe-t-il si l’on modifie légèrement les définitions de la convexité ? Aboutit-on à de nouvelles idées intéressantes ?
Pour le savoir, prenons un ensemble A non vide du plan ou de notre espace vectoriel.
C’est plein d’étoiles !
Dire que A est convexe, c’est demander que, quel que soit P dans A, quel que soit Q dans A, le segment [PQ] est tout entier inclus dans A. Modifions le premier quantificateur (« quel que soit P dans A ») en « il existe P dans A ». On obtient alors une autre notion que la convexité. Un ensemble A qui vérifie « il existe P dans A tel que, quel que soit Q dans A, le segment [PQ] est tout entier inclus dans A » est qualifié d’étoilé (starshaped en anglais).
Alors que la géométrie des convexes possède une longue histoire, celle des ensembles étoilés est récente puisqu’elle est seulement apparue durant la seconde moitié du siècle ...
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