Les schémas aux différences finies


Pierre Le Barbenchon

La physique, la biologie, la chimie, la mécanique et bien d’autres domaines regorgent de phénomènes qui se prêtent à une modélisation mathématique sous forme d’équations différentielles ou aux dérivées partielles. Il n’est généralement pas possible de résoudre explicitement ces équations. Dès lors, il faut chercher à les approcher…

Pour comprendre et modéliser les phénomènes naturels, aussi bien physiques que biologiques, on utilise des équations mathématiques particulières : les équations aux dérivées partielles (EDP), qui sont une généralisation des équations différentielles ordinaires [voir notre dossier dans ce numéro] au cas où la fonction inconnue est à plusieurs variables. On utilise les EDP par exemple pour modéliser les tourbillons présents dans l’air ou dans l’eau, les échanges thermiques, les mouvements électro-statiques, la propagation d’un virus, la relativité générale [voir Tangente 198, 2021, et Tangente 203, 2022]… Il y en a à profusion, et malheureusement on ne sait pas résoudre « de manière exacte » une grande majorité d’entre elles.

 

Vortex d’eau.

 

Pire encore, il arrive qu’on ne sache pas démontrer mathématiquement qu’il existe, ou non, des solutions à certaines de ces équations. C’est le cas de celles de Navier–Stokes en trois dimensions, qui décrivent les tourbillons dans les fluides (eau, air…). Physiquement, « on voit bien » les tourbillons se former (donc les solutions existent !) mais on ne sait pas le démontrer proprement. La résolution rigoureuse de ces équations est un problème du prix du millénaire ... Lire la suite