La théorie des catégories, un « abstract nonsense » ?

Définir une catégorie nécessite de se donner une collection d’objets et, pour chaque couple d’objets, un ensemble de morphismes du premier objet vers le second. Par exemple, on considère la collection des ensembles et, si E et F sont deux ensembles, l’ensemble Mor(E, F) peut être l’ensemble des applications de E vers F ; E est alors le domaine d’un élément f de Mor(E, F) et F son codomaine. On note souvent f : E → F pour exprimer que f est une application de E vers F. Dans le cas où F = E, on dispose d’un élément particulier dans Mor(E, E) : l’application identique, notée I_E. Enfin, si E, F et G sont trois ensembles et que l’on considère f : E → F et g : F → G deux applications telles que le codomaine de la première soit inclus dans le domaine de la seconde, on définit alors
g o f : E → G, la composée de f et de g. Cette opération o, lorsqu’elle est définie, est associative. La catégorie ainsi définie est souvent notée ENS.

Assez clairement, la notion de catégorie des ensembles relève d’un niveau d’abstraction supérieur à celle d’ensemble, considérée à la fin du XIX^e siècle par Georg Cantor. Elle fut introduite par les mathématiciens américains Samuel Eilenberg et Saunders ... Lire la suite