Un intérêt mathématique certain
Un ultrafiltre est un filtre qui n’est contenu strictement dans aucun filtre. Malgré ce haut degré d’abstraction, leur théorie est particulièrement utile en mathématiques, soit en permettant de démontrer avec élégance des théorèmes difficiles, soit en autorisant la création de nouveaux concepts fondamentaux. Pourtant, et c’est là un paradoxe, personne n’est capable de construire un ultrafiltre non trivial. Il en existe même « beaucoup », comme on peut le démontrer grâce au fameux axiome du choix, mais il est impossible d’en exhiber un. Ainsi, on utilise parfois en mathématiques des objets que l’on suppose exister mais que l’on ne sait pas construire !
Convergence et limite
La définition de la convergence d’une suite u de nombres réels (donc une application de ℕ dans ℝ) est bien connue : u converge vers le nombre réel a si, pour tout ε > 0, il existe un entier N tel que si n ≥ N alors |u(n) ‒ a| < ε .
Si E est un sous-ensemble de ℕ, on dit que E est cofini si son complémentaire Ec est fini. Ainsi, l’ensemble Eε des entiers n tels que |u(n) ‒ a| < ε est cofini si u converge vers a. Réciproquement, si Eε = {n [ ℕ: |u(n) ‒ a| < ε} est cofini pour tout ...
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