La somme d’une série ne se limite pas à l’approche qu’on en fait lors de son apprentissage, le plus souvent à l’université ou en classes prépas. On peut sortir du « cadre classique » de nombreuses façons. L’une d’elles est de trouver un moyen pour parvenir plus vite à une estimation de sa somme.
Accélération de la convergence
On pourrait croire qu’une série qui n’est pas absolument convergente (ou, a fortiori, divergente) perd tout intérêt dans l’approche de son éventuelle somme. Il n’en est rien, car le procédé de sommation peut, dans bien des cas, jouer le rôle d’accélérateur de convergence, autrement dit, transformer la série en une série absolument convergente de même somme, et redonner du sens à la propriété d’approximation. Considérons par exemple le cas de la série harmonique alternée, citée dans les précédents articles, dont la somme, au sens classique, vaut le logarithme népérien de 2 :
1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + 1/5 – 1/6 … = ln(2) = 0,69314…
La convergence est lente. Autrement dit, il faut beaucoup de termes, de l’ordre de 10n, pour obtenir une approximation de ln(2) à n chiffres significatifs. Ainsi, il faut additionner ici dix milliards de termes pour avoir dix chiffres significatifs seulement !
Leonhard ...
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